Geometrijske napredovanje in njihove lastnosti

Geometrijski napredovanje je pomembno pri matematiki kot znanosti, in se uporablja pomen, saj ima izredno široko področje, tudi v višje matematike, na primer, v teoriji serije. Prvi podatki o napredku je prišel k nam iz starega Egipta, zlasti v obliki znanega problema Rhind papirus sedem oseb s sedmimi mačkami. Različice te naloge so bile večkrat ponovi v različnih obdobjih od drugih narodov. Tudi Velikiy Leonardo Pizansky, znan kot Fibonacci (XIII c.), Je govoril z njo v svoji »Knjigi Abacus."

Tako, da ima geometrično napredovanje starodavno zgodovino. To predstavlja številčno sekvenco z neničelno prvega elementa, in vsaka nadaljnja, začenši z drugim se določi tako, da se prejšnji ponavljanja formulo pri konstantni, različen od nič številko, ki se imenuje imenovalec napredovanje (običajno označeni z črko Q).
Očitno je mogoče najti z deljenjem vsakem naslednjem trajanje zaporedja s prejšnjim, tj Z2: Z1 = ... = Zn: Zn-1 = .... Zato je za večino napredovanje dela (Zn) dovolj, da pozna vrednost prve trajanjem imenovalec in Y1 q.

Denimo, Z1 = 7, q = - 4 (q <0), potem je po geometrijski napredovanje pridobljeni 7 - 28, 112 - 448, .... Kot lahko vidite, nastalo zaporedje ni monotona.

Spomnimo, da poljubna zaporedje monotono (povečanje / zmanjšanje), ko je eden izmed njenih članov sledi več / manj kot prejšnje. Na primer, sekvenca 2, 5, 9, ... in -10, -100, -1000, ... - Monotono, druga - padajoča geometrijske napredovanje.

V primeru, kjer je q = 1, se ugotovi, da vsi člani so, in da se imenuje stalno napredovanje.

Zaporedje je napredovanje tega tipa, mora izpolnjevati naslednje potreben in zadosten pogoj, in sicer: izhajajoč iz drugega, vsak od njenih članov mora biti geometrično povprečje sosednjih članov.

Ta lastnost omogoča pod določenimi dva sosednja ugotovitev samovoljno čas napredovanja.

n-ti izraz eksponentno zlahka ugotovi s formulo: Zn = Z1 * q ^ (n-1), z vedo prvi element 1 in imenovalec q.

Ker je zaporedna številka je znesek, potem nekaj enostavnih izračunov nam formule za izračun vsota prvega napredovanja članov, in sicer:

Sn = - (Zn * Q - Z1) / (1 - q).

Zamenjava v formuli izražanju vrednost Zn Z1 * q ^ (n-1), da dobimo drugo vsoto formulo napredovanja: Sn = - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Je vreden pozornosti naslednja zanimivost: tableta glina najdemo v izkopavanj v starodavnem Babilonu, ki se nanaša na VI. BC, vsebuje nenavaden način vsota 1 + 2 + ... + še ni bilo mogoče najti 22 + 29 enako 2 do desetega minus napajanja 1. razlago tega pojava.

Opažamo, ena od lastnosti geometrijske napredovanje - konstantno dela svojih članov, razporejenih v enakih razdaljah od konca zaporedja.

Posebnega pomena iz znanstvenega vidika, kaj takega kot neskončno geometrijske napredovanje in izračunavanju višine. Ob predpostavki, da je (in) - geometrično napredovanje ima imenovalca, q, ki izpolnjuje pogoj | q | <1, njena višina pa bo iz mejo v smeri, ki smo jih že poznamo vsoto njenih prvih članov, z neizmernim povečanje n, nato pa so na njej približuje neskončnosti.

Ta znesek, ki je rezultat po formuli:

Sn = y 1 / (1- q).

In, saj izkušnje kažejo, za navidezno preprostostjo tega napredovanja se skriva velik potencial uporabe. Na primer, če konstruiramo zaporedje kvadratov po naslednjem algoritmu, ki povezuje midpoints prejšnje, potem se tvori peto neskončno geometrijske napredovanje ima imenovalec 1/2. Ista oblika napredovanje in območje trikotnikov, pridobljeni v vsaki fazi gradnje, in njena vsota je enaka površini prvotnega kvadrata.