Preprosta metoda ponovitev za reševanje sistemov linearnih enačb (Slough)

Preprost način ponovitev, ki se imenuje tudi metodo zaporednih približevanja, - matematični algoritem za iskanje vrednosti neznani vrednosti skozi postopno pojasni. Bistvo te metode je, da je, kot že ime pove, se postopoma izražajo začetni približek naslednjih tiste, postajajo vse bolj prefinjene rezultate. Ta metoda se uporablja za iskanje vrednosti spremenljivke v določeni funkciji, in reševanje sistemov enačb, tako linearne kot nelinearne.

Poglejmo, kako se ta metoda izvaja pri reševanju linearnih sistemov. Metoda navadne iteracije algoritem je, kot sledi:

1. Verifikacija konvergenčnih pogojev v začetnem matrike. konvergenčni izrek: Če je prvotna sistem matrika diagonalno dominantna (tj vsaka vrstica elementov glavni diagonali mora biti večja v velikosti kot vsota elementov stranskih diagonal v absolutni vrednosti), pri čemer postopek enostavnih iteracij - konvergentna.

2. matrika prvotnega sistema ni vedno diagonale prevlado. V takih primerih lahko sistem spremenili. Enačbe, ki izpolnjujejo konvergenčni pogoj ostane nedotaknjen, s nezadovoljiva in linearno kombinacijo, t.j. množijo, odštevanje, enačba zložen skupaj, da dobimo želenega rezultata.

Če so prejeli sistem na glavni diagonali neugodni dejavniki, nato pa na obeh straneh te enačbe so dodane z vidika vrste _i * x _i, ki naj bi sovpadala z znaki znaki diagonalnih elementov.

3. Pretvorba dobljene sistem za običajni pogled:

^{x - = β - + α *} x -

To je mogoče doseči na različne načine, npr, kot sledi: prva enačba izraziti x ₁ skozi drugo neznano od vtorogo- x ₂ x ₃ tretego- itd Tako smo z uporabo formule:

_{α ij = - (a ij /} A II)

_i = b _/ a _ii
zagotoviti še, da je posledica sistem običajne vrste ustreza konvergenčnega pogoja, da:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1 in i = 1,2, ... n

4. Začnite uporabljati, pravzaprav način zaporednimi približki.

x ⁽⁰⁾ - začetni približek izražamo skozenj x ^(1), čemur sledi x ⁽¹⁾ x Express ^(2). Splošna formula iz matrični obliki kot sledi:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Mi izračunati, dokler ne dosežemo želene natančnosti:

_{maksimalno število | x i (k) -X} i (k + 1) ≤ ε

Torej, kaj je videti v praksi, način enostavnega ponovitev. primer:
Reševanje linearnih sistemov:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 z natančnostjo ε = 10 ^-3

Poglej prevladujejo če diagonalnih elementov modula.

Vidimo, da je konvergenca pogoj za izpolnjen s strani tretje enačbe. Prvi in drugi spremeniti, prvo enačbo smo dodali dva:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Odšteje od tretjega enega:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Smo spremenili prvotni sistem v protivrednosti:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Zdaj smo zmanjšali sistem na običajni pogled:

X1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
X3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Preverimo konvergenco ponavljajočega se procesa:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, t.j. pogoj je izpolnjen.

0,3947
Začetno približek x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Zamenjajte te vrednosti v enačbo normalne vrste, dobimo naslednje vrednosti:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Nadomestni nove vrednosti, dobimo:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Še naprej za izračun, dokler, dokler ne prideš bližje vrednotam, ki izpolnjujejo natančno določene pogoje.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Preverite pravilnost rezultatov:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Rezultati, pridobljeni z zamenjavo dobljene vrednosti v prvotni enačbi, v celoti izpolnjujejo enačba.

Kot lahko vidimo, je metoda preprosta ponovitev daje dokaj točne rezultate, ampak za reševanje te enačbe, smo morali porabiti veliko časa in ne okorne izračune.