Teorija verjetnosti. Verjetnost dogodka, naključni dogodki (teorija verjetnosti). Neodvisni in nezdružljivi dogodki v teoriji verjetnosti

Malo verjetno je, da mnogi ljudje mislijo, da je mogoče prešteti dogodkov, ki so do neke mere nenamerno. Povedano s preprostimi besedami, ali je realno, da vedo, na kateri strani kocke na kocke bo padel naslednjič. To je bilo to vprašanje vprašati dve veliki znanstveniki, postavil temelje za te znanosti, teorijo verjetnosti, verjetnost dogodka, v katerem je študiral dovolj veliki meri.

generacija

Če boste poskušali določiti tak koncept kot teoriji verjetnosti, dobimo naslednje: to je ena od vej matematike, ki proučuje konstantnosti naključnih dogodkov. Jasno je, da ta koncept res ne razkrivajo bistvo, tako da boste morali, da jih upošteva podrobneje.

Rad bi, da začnete z ustanovitelji teorije. Kot je bilo že omenjeno, sta bili dve, ki Per FERMA in Blez Paskal. Bili so prvi poskus z uporabo formul in matematičnih izračunov za izračun izid dogodka. Na splošno velja, zametke te znanosti je še v srednjem veku. Medtem ko so razni misleci in znanstveniki poskušali analizirati casino iger, kot so ruleta, craps, in tako naprej, tako da se vzpostavi vzorec, in izguba odstotek več. Temelj je bil položen tudi v sedemnajstem stoletju je bil prej omenjeni znanstveniki.

Sprva, njihovo delo ni bilo mogoče pripisati velike dosežke na tem področju, po vsem, kar so naredili, so bili samo empirična dejstva in poskusi so bili očitno brez uporabe formul. Sčasoma se je izkazalo, da se doseže dobre rezultate, ki so se pojavili kot posledica opazovanja zasedbi kosti. To je ta instrument pomagal, da bi prvi poseben formulo.

podporniki

Da ne omenjam, človek kot Christiaan Huygens, v postopku preučevanja predmeta, ki nosi ime "verjetnostne teorije" (verjetnost dogodka se izpostavlja v tej znanosti). Ta oseba je zelo zanimivo. On, kot tudi znanstveniki zgoraj predstavljeni so poskušali v obliki matematičnih formul razbrati vzorec naključnih dogodkov. Omeniti je treba, da je ne bi delil z Pascal in Fermat, da je vse njegovo delo ne prekriva s temi glavah. Huygens izhaja osnovne koncepte teorije verjetnosti.

Zanimivo je dejstvo, da je njegovo delo je prišel že pred rezultati dela pionirjev, če smo natančni, dvajset let prej. Obstaja le med koncepta, ki so:

• kot koncept verjetnosti vrednosti srečo;
• pričakovanje za diskretne postopka;
• izreki seštevanje in množenje verjetnosti.

Prav tako pa ne smemo pozabiti Yakoba Bernulli, ki je prav tako prispevala k preučevanju problematike. Skozi svoje, od katerih niti so neodvisni testi, je bil sposoben zagotoviti dokazilo zakona velikih števil. Po drugi strani pa znanstveniki Poisson in Laplace, ki je delal v začetku devetnajstega stoletja, so bili sposobni dokazati prvotno izrek. Od tega trenutka analizirati napake v stališčih smo začeli uporabljati teorije verjetnosti. Skupina okoli tega znanost ne more in ruski znanstveniki, temveč Markov, Chebyshev in Dyapunov. Ti so na podlagi opravljenega dela velikih genijev, zavarovani predmet kot veja matematike. te številke smo delali na koncu devetnajstega stoletja, in zaradi njihovega prispevka, se je izkazala za pojave, kot so:

• zakon velikih števil;
• Teorija markovskih verig;
• Osrednji limitni izrek.

Torej, zgodovina rojstva znanosti in z velikimi osebnostmi, ki so prispevali k njej, vse, kar je bolj ali manj jasno. Zdaj je čas, da bi izpopolnili vsa dejstva.

osnovni pojmi

Preden se dotaknete morajo biti zakoni in izreki spoznali osnovne pojme verjetnostnega računa. Dogodek se zavzema dominantno vlogo. Ta tema je precej obsežna, vendar ne bodo mogli razumeti, vse ostalo brez njega.

Dogodek v teoriji verjetnosti - to Vsak niz rezultatov poskusa. Koncepti tega pojava ni dovolj. Tako, Lotman znanstvenik, zaposlen na tem področju, se je izrazil, da v tem primeru govorimo o tem, kaj "se je zgodilo, čeprav ne bi zgodilo."

Naključni dogodki (verjetnostni račun posebno pozornost do njih) - je koncept, ki vključuje absolutno nobene pojav, ki ima možnost, da se pojavijo. Ali pa, nasprotno, ta scenarij ne more zgoditi pri opravljanju različnih pogojih. Prav tako je treba vedeti, da zasedajo celoten obseg pojavov, ki se pojavljajo samo naključne dogodke. Verjetnostni račun kaže, da so vsi pogoji, lahko nenehno ponavljati. To je njihovo ravnanje je bila imenovana "izkušnje" ali "test".

Pomemben dogodek - to je pojav, ki je v tem testu stoodstotno zgodilo. Zato je nemogoče dogodek - to je nekaj, kar se ne zgodi.

Združevanje parova ukrep (običajno če A in primer B) je pojav, ki se zgodi istočasno. Te so označene kot AB.

Količina parov dogodkov A in B - C, z drugimi besedami, če je vsaj eden od njih (A ali B), dobiš C. Formula opisani pojav je napisan kot C = A + B

Nezdružljivi razvoj v teoriji verjetnosti pomeni, da sta oba primera med seboj izključujejo. Hkrati pa so v vsakem primeru ne pride. Skupne prireditve v teoriji verjetnosti - to je njihov antipod. Posledica je, da če je A se je zgodilo, to ne izključuje C.

Nasprotna dogodek (verjetnostni račun jih meni, da zelo podrobno), so lahko razumljive. Zato je najbolje, da se ukvarjajo z njimi v primerjavi. So skoraj enake kot nezdružljivi razvoj v teoriji verjetnosti. Vendar pa je njihova razlika je, da pride eden iz množice pojavov v vsakem primeru.

Enako verjetni dogodki - ti ukrepi, je možnost ponovitve enaka. Da bi bilo jasno, si lahko predstavljate premetavala kovanec: izguba enega od svojih straneh je enako verjetno izguba drugega.

je lažje, da preuči primer prednost dogodek. Recimo, da je epizoda v epizodo A. prvi - zvitek umre s prihodom liho število, in drugi - tudi pojav številko pet na kocke. Potem se izkaže, da je A ugodnostmi V.

Neodvisni dogodki v teoriji verjetnosti se bo predvidoma le na dveh ali več priložnostih in vključujejo neodvisna od katere koli ukrep iz drugega. Na primer, - na izgubo repi kovance metanje v zrak in B - dostavanie vtičnico iz krova. Imajo samostojne prireditve v teoriji verjetnosti. Od tega trenutka je postalo jasno.

Vzdrževani dogodki v teoriji verjetnosti je tudi dovoljeno le za niz. Ti pomeni odvisnost od enega na drugi strani, da je pojav lahko zgodi samo v primeru, ko je že prišlo ali pa, nasprotno, ni zgodilo, ko je - glavni pogoj za B.

Rezultati naključnega poskusa, ki sestoji iz ene same komponente - to je osnovno dogodkov. Verjetnostni račun pravi, da gre za pojav, ki je naredil samo enkrat.

osnovna formula

Tako je bilo zgoraj menil, da je pojem "dogodek", "verjetnostne teorije", je bila namenjena tudi opredelitve ključnih izrazov te znanosti. Zdaj je čas, da se seznani s pomembnimi formul. Ti izrazi so matematično potrdili vse glavne koncepte tako težko temo, kot teoriji verjetnosti. Verjetnost dogodka in igra veliko vlogo.

Bolje je začeti z osnovnimi formul kombinatoriki. In preden jih začnete, da je vredno razmisliti, kaj je to.

Kombinatorika - je predvsem veja matematike, ki mu je bil študij ogromno število celih števil, in različnih permutacij obeh številk in njihovih elementov, različnih podatkov, itd, kar je privedlo do številnih kombinacij ... Poleg teoriji verjetnosti, ta industrija je pomembna za statistike, računalništva in kriptografije.

Sedaj lahko premaknete na predstavitvi zase in za svoje opredelitve formul.

Prvi od teh je izraz za število permutacij, je, kot sledi:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Enačba velja le v primeru, če so elementi razlikujejo le v vrstnem redu dogovora.

Zdaj Formula umestitev, izgleda, da se bo to šteje:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = N! : (A ^ - m)!

Ta izraz se uporablja ne le za edini element oddaje naročila, temveč tudi za njegovo sestavo.

Tretja enačba kombinatorike, in je ta, ki se imenuje formulo za število kombinacij:

C_n ^ m-n! : ((A ^ - m))! : P!

Kombinacija se imenuje vzorčenje, ki se ne naloži, oziroma, da se in se uporablja to pravilo.

Z formule kombinatorike prišel enostavno razumeti, zdaj lahko greš na klasično definicijo verjetnosti. Izgleda, da ta izraz, kot sledi:

P (A) = m: n.

V tej formuli, m - število razmere, ugodne za dogodek A, in n - število enako in popolnoma vseh elementarnih dogodkov.

Obstaja veliko izrazov v članku, ne bodo obravnavane vse prej prizadeti bodo najpomembnejše, kot so, na primer, je verjetnost dogodkov znaša:

P (A + B) = P (A) + P (B) - ta izrek za dodajanje le vzajemno izključujoča dogodkih;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - vendar je to le za dodajanje kompatibilen.

Verjetnost del dogodka:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - ta izrek neodvisnih dogodkov;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A) P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - in to za odvisne.

Končal seznam dogodkov formulo. Teorija verjetnosti nam pove izrek Bayes, ki izgleda takole:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

V tej formuli H _{1, H2,} ..., H _n - je celoten sklop hipotez.

Na tej postaji, bo zdaj treba upoštevati vzorce formule vloga za posebne naloge iz prakse.

primeri

Če ste pozorno preučiti vsako vejo matematike, ni brez vaj in vzorčne rešitve. In teorija verjetnosti: dogodkov, primeri tukaj so sestavni del potrjuje znanstvene izračune.

Formula za število permutacij

Na primer, na palubi kartice imajo trideset kartic, začenši z nominalno eno. Naslednje vprašanje. Koliko načinov kratno krova, tako da so kartice z nominalno vrednostjo ene in dveh ni bilo, ki se nahaja zraven?

Naloga je nastavljen, zdaj gremo na spopadanje z njo. Najprej morate ugotoviti število permutacij tridesetih elementov, v ta namen smo vzeli zgornje formule, se izkaže P_30 = 30!.

Na podlagi tega pravila, vemo, koliko možnosti je, da se določijo krova na različne načine, vendar pa je treba odšteti od njih so tiste, v katerih sta prvo in drugo kartico bo naslednji. Če želite to narediti, se začne z varianto, ko je prvi, ki se nahaja na sekundo. Izkazalo se je, da lahko prva karta traja dvajset-devet mest - od prvega do devetindvajseti, druga kartica od drugega do trideset, obrne dvajset devet sedežev za parov kartic. Po drugi strani pa se lahko drugi traja dvajset osem sedežev, in v poljubnem vrstnem redu. To pomeni, da za preureditev osemindvajsetih kartice so dvajset osem možnosti P_28 = 28!

Posledica tega je, da če menimo, da je odločitev, ko je prva kartica v drugem dodatno priložnost, da bi dobili 29 ⋅ 28! = 29!

Z uporabo iste metode, ki jih potrebujete za izračun števila presežnih možnosti za primer, ko je prva kartica, ki se nahaja pod sekundo. dobiti tudi 29 ⋅ 28! = 29!

Iz tega sledi, da so dodatne možnosti 2 ⋅ 29!, Medtem ko se s potrebnimi sredstvi za zbiranje krova 30! - 2 ⋅ 29!. Ostaja samo za izračun.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sedaj moramo množiti skupaj vse številke od enega do dvajset-devet, nato pa na koncu vse pomnožena z 28. Odgovor pridobljeni 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Primeri rešitev. Formula za število namestitve

V to težavo, morate ugotoviti, koliko obstajajo načini za dani obseg petnajst na polici, vendar pod pogojem, da le trideset obseg.

Pri tej nalogi, je odločitev nekoliko lažja kot v prejšnjem. Z že znano formulo, je treba izračunati skupno število tridesetih lokacijah petnajst prostorninami.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Odgovor, oziroma, bo enaka 202 843 204 931 727 360 000.

Sedaj lahko nalogo malo težje. Morate vedeti, koliko obstajajo načini urediti dvaintrideset knjig na policah, s pridržkom, da se lahko samo petnajst obseg prebivajo na isti polici.

Pred začetkom odločitve želi pojasniti, da je treba nekatere probleme možno rešiti na več načinov, in to obstajata dva načina, vendar se uporablja tako eno in isto formulo.

Pri tej nalogi, ki jih lahko sprejme odgovor od prejšnje, saj smo izračunali, kolikokrat lahko izpolnite polico za petnajst knjig na različne načine. Izkazalo A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Drugi polk izračuna po formuli rekonstrukciji, ker je ta dan petnajst knjig, medtem ko preostanek petnajst. Uporabljamo formulo P_15 = 15!.

Izkazalo se je, da je vsota bo A_30 ^ 15 ⋅ P_15 načine, ampak, poleg tega pa bi produkt vseh števil od trideset do šestnajst let, se pomnoži s produktom številk od enega do petnajst, na koncu izkaže izdelek vseh številk od enega do trideset, da je odgovor je 30!

Vendar se ta problem mogoče rešiti na drugačen način - lažje. Če želite to narediti, si lahko predstavljate, da je ena polica za trideset knjig. Vsi izmed njih so postavljeni na tej ravnini, ampak zato, ker je pogoj zahteva, da sta bili dve polici, ena dolgo smo žaganje na pol, dva vrtljaja petnajst. Iz tega se je izkazalo, da je lahko za to ureditev lahko P_30 = 30!.

Primeri rešitev. Formula za število kombinacij

Kdo se šteje varianta tretji problem kombinatoriki. Morate vedeti, koliko načinov je, da poskrbi petnajst knjig o stanju, ki jih je treba izbirate trideset popolnoma isti.

Za odločitev bo, seveda, uporabljeno formulo za število kombinacij. Iz pogojem, da postane jasno, da vrstni red istih petnajstih knjig ni pomembno. Torej, najprej morate ugotoviti, skupno število kombinacij tridesetih petnajst knjig.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

To je vse. Z uporabo te formule v najkrajšem možnem času rešiti tak problem, odgovor, v tem zaporedju, ki je enaka 155,117,520.

Primeri rešitev. Klasična definicija verjetnosti

Z uporabo zgoraj navedena formula, lahko najdemo odgovor na preprost nalogo. Vendar pa bo jasno videti in slediti postopanje.

Naloga glede na to, da so v žaro deset popolnoma enake krogle. Od tega je štiri rumene in šest modro. Povzeto po žarnih eno žogo. Treba je vedeti, verjetnost dostavaniya modro.

Za rešitev problema je potrebno določiti dostavanie modro žogo dogodka A. Ta izkušnja je lahko deset rezultatov, ki v zameno, osnovno in enako verjetno. Ob istem času, šest od desetih so ugodne za dogodek A. Rešite naslednjo formulo:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Uporaba te formule, smo izvedeli, da je možnost dostavaniya modro žogo 0.6.

Primeri rešitev. Verjetnost dogodkov zneska

Kdo bo varianta, ki je rešen s pomočjo formule verjetnosti dogodkov znesek. Torej, glede na pogoj, da obstajata dva primera, prva je sive barve in pet bele kroglice, medtem ko drugi - osem sive in štiri bele kroglice. Kot rezultat, so se prvi in drugi škatle sprejeta na eni od njih. Treba je ugotoviti, kakšne so možnosti, da niso imeli kroglice so sivi in beli.

Da bi rešili ta problem, je treba opredeliti dogodek.

• Tako, A - imamo sivo žogo na prvo polje: P (A) = 1/6.
• A "- bela žarnica izvedel tudi prvo polje: P (A) = 5/6.
• The - že ekstrahirali siva krogla drugega voda: P (B) = 2/3.
• B '- je siv kjer drugega predala: P (B') = 1/3.

Glede na problem je treba, da je eden izmed fenomenov se je zgodilo: AB "ali" B. Po enačbi, dobimo: P (AB) = 1/18, P (A'b) = 10/18.

Sedaj smo uporabili formulo pomnožitve verjetnost. Nato bi izvedeli odgovor, boste morali uporabiti svojo enačbo dodal:

P = P (ab '+ A'b) = P (ab') + P (A'b) = 11/18.

Tako, s pomočjo formule, ki jih lahko rešili take težave.

rezultat

V prispevku je predstavljen z informacijami o "teoriji verjetnosti", verjetnost dogodkov, ki igrajo pomembno vlogo. Seveda ni bilo vse, kar šteje, ampak na podlagi besedila predstavljeno, lahko teoretično spoznate s to vejo matematike. Upoštevani znanost je lahko koristno, ne samo v strokovnem poslu, ampak tudi v vsakdanjem življenju. Lahko ga uporabite za izračun vsako možnost dogodka.

Besedilo je vplivala tudi pomembnih datumov v zgodovini razvoja teorije verjetnosti kot znanosti, in imena ljudi, katerih dela so bila vanjo. To je, kako človeška radovednost je privedlo do dejstva, da so se ljudje naučili, da računajo, tudi naključne dogodke. Ko so samo zanima to, danes pa je že znano, da vse. In nihče ne more reči, kaj se bo zgodilo, da nas v prihodnosti, kaj drugi briljantno odkritja v zvezi s teorijo obravnavani, bi bila storjena. Ampak ena stvar je gotova - študija še ni vredno!