Kako izhajati iz kosinusnega derivata

Kosininski derivat je analogen derivatu sinusov, osnova dokaza pa je definicija meje funkcije. Z uporabo trigonometričnih formul za ulivanje kosinusov in sinusnih kotov lahko uporabite drugo metodo. Za izražanje ene funkcije preko druge je kosinus skozi sinus in diferenciranje sinusov s kompleksnim argumentom.

Razmislite o prvem primeru izpeljave formule (Cos (x)) '

Za argument x funkcije y = Cos (x) damo infinitezni prirast Δx. Z novo vrednostjo argumenta x + Δx dobimo novo vrednost funkcije Cos (x + Δx). Nato bo prirastek funkcije Δy Cos (x + Δx) -Cos (x).
Razmerje med prirastkom funkcije na Δx bo naslednje: (Cos (x + Δx) -Cos (x)) / Δx. Izvajamo enake transformacije v števcu dobljene frakcije. Recimo formulo za razliko kosinusov kotov, rezultat je produkt -2Sin (Δx / 2), pomnožen s Sin (x + Δx / 2). Najdemo omejitev delne lime tega izdelka na Δx za Δx, ki se nagiba na nič. Znano je, da je prvi (imenovan je izjemen) lim lim (Sin (Δx / 2) / (Δx / 2)) 1 in meja -Sin (x + Δx / 2) je -Sin (x) za Δx, Nič.
Napišite rezultat: derivat (Cos (x)) je Sin (x).

Nekaterim ljudem je všeč drugi način pridobivanja enake formule

Iz teorije trigonometrije je znano: Cos (x) je enak Sin (0,5 · Π-x), podobno kot Sin (x) je Cos (0,5 · Π-x). Nato razlikujemo kompleksno funkcijo - sinus dodatnega kota (namesto kosinusa x).
Dobimo produkt Cos (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x) ', ker je derivat sinus x enak kosinusu x. Preusmerimo se na drugo formulo Sin (x) = Cos (0,5 · Π-x) spremembe kosina-sine, upoštevamo, da (0,5 · Π-x) '= -1. Sedaj dobimo -Sin (x).
Tako smo za funkcijo y = Cos (x) našli kosinov derivat, y '= -Sin (x).

Kvadratni kosinusni derivat

Pogosto uporabljeni primer, kjer se uporablja derivat kosinusa. Funkcija y = Cos ² (x) je zapletena. Najprej najdemo diferencijo močne funkcije z eksponentom 2, to bo 2 · Cos (x), nato pa ga množimo z derivatom (Cos (x)) ', ki je -Sin (x). Dobimo y '= -2 · Cos (x) · Sin (x). Ko uporabimo formulo Sin (2 x), sinus dvojnega kota, dobimo končno poenostavljeno
Odgovor y '= -Sin (2 x)

Hiperbolične funkcije

Uporablja se v študiji številnih tehničnih disciplin: v matematiki, na primer, olajša izračun integralov, rešitev diferencialnih enačb. Izražajo jih skozi trigonometrične funkcije z namišljenim argumentom, zato je hiperbolični kosinus ch (x) = Cos (ix), kjer je i imaginarna enota, hiperbolični sinus sh (x) = Sin (ix).
Hiperbolični kosinusni derivat je enostavno izračunan.
Razmislimo o funkciji y = (e ^x + e- ^x ) / 2, to je hiperbolični kosinus ch (x). Uporabljamo pravilo, da najdemo derivat vsote dveh izrazov, pravilo za izvajanje konstantnega faktorja (Const) za znakom izpeljanka. Drugi izraz 0,5 · e ^x je kompleksna funkcija (njen derivat je -0,5 · e- ^x ), 0,5 ^× e ^x je prva vsota. (X (x)) '= ((e ^x + e ^{- x} ) / 2)' lahko zapišemo drugače: (0,5 · e ^x + 0,5 · e ^{- x} ) = 0,5 · e ^x -0.5 · e ^{- x} , ker je derivat (e ^{- x} ) '-1, pomnožen z e ^{- x} . Rezultat je razlika, in to je hiperbolični sinus sh (x).
Zaključek: (ch (x)) '= sh (x).
Poglejmo si primer, kako izračunati derivat funkcije y = ch (x ³ +1).
Po pravilu za diferenciranje hiperboličnega kosinusa s kompleksnim argumentom, y '= sh (x ³ + 1) · (x ³ + 1)', kjer (x ³ + 1) '= 3 x ² +0.
Odgovor: derivat te funkcije je 3 · x ² · sh (x ³ +1).

Izvodi funkcij y = ch (x) in y = Cos (x) sta tabularni

Pri reševanju primerov jih ni treba vsakič razlikovati glede na predlagano shemo, zadostuje, da uporabimo izpeljavo.
Primer. Differentiramo funkcijo y = Cos (x) + Cos ² (-x) -Ch (5 x).
To je enostavno izračunati (uporabite tabularne podatke), y '= -Sin (x) + Sin (2 x) -5 · Sh (5 x).