Konveksni mnogokotniki. Opredelitev konveksnega mnogokotnika. Diagonali konveksnega mnogokotnika

Te geometrijske figure nas obkrožajo povsod. Konveksni poligoni so naravni, na primer čebelji satovi ali umetni (ki jih ustvarjajo ljudje). Te številke se uporabljajo pri izdelavi različnih vrst premazov, slikarstva, arhitekture, dekoracij itd. Konveksni poligoni imajo lastnost, da so vse svoje točke na eni strani črte, ki poteka skozi par sosednjih tock v tej geometrijski sliki. Obstajajo še druge opredelitve. Konveksni je ta poligon, ki se nahaja v eni polurnasti ravnini glede na katero koli črto, ki vsebuje eno od njegovih strani.

Konveksni mnogokotniki

Pri osnovni geometriji vedno upoštevamo le preproste poligone. Za razumevanje vseh lastnosti takšnih geometrijskih številk je potrebno razumeti njihovo naravo. Za začetek je treba razumeti, da se vsaka črta, ki se konča, konča. Številka, ki jo je oblikovala, lahko vsebuje različne konfiguracije. Poligon je preprosta zaprta poligonska črta, katere sosednje povezave ne ležijo na isti liniji. Njegove povezave in vrhovi so stranske in vertikalne točke te geometrijske figure. Preprosta polilnica ne sme imeti samozapornih stez.

Vrvice mnogokotnika imenujemo sosednje, če predstavljajo konce ene od svojih stranic. Geometrijska številka, ki ima n-ti število točk in torej n-ti število strani, se imenuje n-gon. Lomljena črta se imenuje meja ali kontura te geometrijske figure. Poligonska ravnina ali ravninski mnogokotnik se imenuje končni del katere koli ravnine, ki jo omejuje. Sosednje strani te geometrijske figure so segmenti prelomljene črte, ki se začnejo iz ene vertexe. Ne bodo sosednje, če prihajajo iz različnih verig poligona.

Druge definicije konveksnih mnogokotnikov

V osnovni geometriji je po svoji vrednosti nekaj več enakovrednih definicij, ki označujejo, kateri poligon imenujemo konveksni. Vse te formulacije so enako resnične. Konveksni mnogokotnik velja za:

• vsak segment, ki povezuje dve točki v njej, leži v celoti;

• znotraj nje ležijo vse diagonale;

• Vsak notranji kot ne presega 180 °.

Poligon vedno deli ravnino na dva dela. Eden od njih je omejen (ga je mogoče zapreti v krogu), drugi pa neomejen. Prvi se imenuje notranja regija, druga pa se imenuje zunanji del te geometrijske figure. Ta poligon je presečišče (z drugimi besedami - skupna komponenta) več polovic. V tem primeru je vsak segment, ki se konča na točkah, ki pripadajo poligonu, v celoti.

Vrste konveksnih mnogokotnikov

Opredelitev konveksnega mnogokotnika ne kaže, da obstaja veliko vrst. Vsak od njih ima določena merila. Tako so konveksni mnogokotniki, ki imajo notranji kot enak 180 °, imenovani šibko konveksni. Konveksna geometrijska slika, ki ima tri tocke, se imenuje trikotnik, štiri je kvadranz, pet je pentagon itd. Vsak od konveksnih n-gonov izpolnjuje naslednje najpomembnejše zahteve: n mora biti enako ali vecje od 3. Vsak od trikotnikov je konveksen. Geometrijska številka te vrste, v kateri se vse tocke nahajajo na enem krogu, se vpiše v krog. Konveksni poligon se imenuje, če ga dotaknete vse njegove stranice v bližini kroga. Dva poligona imenujeta enako samo, če jih je mogoče združiti s prekrivanjem. Poligonska ravnina se imenuje ploski mnogokotnik (del ravnine), ki je omejen s to geometrijsko sliko.

Pravilni konveksni mnogokotniki

Pravilni poligoni so geometrijske slike z enakimi koti in stranicami. V njih je točka 0, ki je na isti razdalji od vsake od njegovih tock. Imenuje se središče te geometrijske figure. Segmenti, ki povezujejo središče z vrati te geometrijske figure, imenujemo apophemes, in tisti, ki povezujejo točko 0 s stranicami, so radii.

Pravi štirikotnik je kvadrat. Pravilen trikotnik se imenuje enakostranski. Za take številke velja naslednje pravilo: vsak kot konveksnega mnogokotnika je 180 ° * (n-2) / n,

Kjer je n število tock v tej konveksni geometrijski sliki.

Območje katerega koli pravilnega mnogokotnika je definirano s formulo:

S = p * h,

Če je p enak polovici vsote vseh strani določenega mnogokotnika, h pa je enako dolžini apofeme.

Lastnosti konveksnih mnogokotnikov

Konveksni poligoni imajo določene lastnosti. Torej, segment, ki povezuje vse dve točki takšne geometrijske figure, je nujno v njej. Dokaz:

Recimo, da je P dani konveksni mnogokotnik. Vzamemo 2 poljubne točke, na primer A, B, ki spadajo v P. Glede na obstoječo definicijo konveksnega mnogokotnika se te točke nahajajo na eni strani črte, ki vsebuje katero koli stranico P. Zato AB ima tudi to lastnost in je vsebovana v P. Konveksni mnogokotnik je vedno Možno je razdeliti na več trikotnikov z absolutno vse diagonale, ki so narejene iz ene od njegovih tock.

Koti konveksnih geometrijskih slik

Koti konveksnega mnogokotnika so koti, ki jih tvorijo njene stranice. Notranji koti so v notranjem območju te geometrijske figure. Kot, ki ga tvorijo njegove stranice, ki se konvergirajo v eni verigi, imenujemo kot konveksnega mnogokotnika. Koti, ki ležijo v bližini notranjih kotov določene geometrijske figure, imenujemo zunanji. Vsak kot v konveksnem poligonu v notranjosti je enak:

180 ° - x,

Kjer je x vrednost zunanjega kota. Ta preprosta formula velja za vse geometrijske figure te vrste.

Na splošno velja za zunanje kota naslednje pravilo: vsak kot konveksnega mnogokotnika je enak razliki med 180 ° in vrednostjo notranjega kota. Lahko ima vrednosti od -180 ° do 180 °. Zato, ko je notranji kot 120 °, bo zunanji kot 60 °.

Vsota kotov konveksnih mnogokotnikov

Vsota notranjih kotov konveksnega mnogokotnika je določena s formulo:

180 ° * (n-2),

Če je n število verzov n-gona.

Vsota kotov konveksnega mnogokotnika je izračunana precej preprosto. Upoštevajte vsako takšno geometrijsko sliko. Za določitev vsote kotov znotraj konveksnega mnogokotnika je treba eno od njenih tock povezati z drugimi tockami. Kot rezultat tega ukrepa dobimo (n-2) trikotnike. Znano je, da je vsota kotov katerega koli trikotnika vedno 180 °. Ker je njihovo število v katerem koli poligonu enako (n-2), je vsota notranjih kotov takšne slike 180 ° x (n-2).

Vsota kotov konveksnega mnogokotnika, in sicer katerikoli dve notranji in sosednji zunanji koti, za določeno konveksno geometrijsko sliko bo vedno 180 °. Iz tega izhaja, da je mogoče določiti vsoto vseh njegovih kotov:

180 x n.

Vsota notranjih kotov je 180 ° * (n-2). Iz tega sledi, da je vsota vseh zunanjih kotov danega števila določena s formulo:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Vsota zunanjih kotov katerega koli konveksnega poligona bo vedno 360 ° (ne glede na število njegovih strani).

Zunanji kot konveksnega mnogokotnika je na splošno prikazan z razliko med 180 ° in vrednostjo notranjega kota.

Druge lastnosti konveksnega mnogokotnika

Poleg osnovnih lastnosti teh geometrijskih slik imajo tudi druge, ki nastanejo pri manipuliranju z njimi. Tako lahko katerikoli od mnogokotnikov razdelimo na več konveksnih n-gon. Za to je potrebno nadaljevati vsako svojo stran in to geometrijsko sliko prekiniti vzdolž teh ravnih črt. Poligon lahko razdelite na več konveksnih delov in tako, da se točke vsake od kosov sovpadajo z vsemi njegovimi vozlišči. Iz te geometrijske slike je zelo enostavno narediti trikotnike, tako da imajo vse diagonale iz enega vozlišča. Tako se lahko vsak poligon v končni analizi razdeli na določeno število trikotnikov, kar je zelo koristno pri reševanju različnih problemov, povezanih s takšnimi geometrijskimi številkami.

Perimeter konveksnega mnogokotnika

Segmenti prelomljene črte, imenovane strani mnogokotnika, so najpogosteje označeni z naslednjimi črkami: ab, bc, cd, de, ea. To so stranice geometrijske figure z vrha a, b, c, d, e. Vsota dolžin vseh strani tega konveksnega mnogokotnika se imenuje njen perimeter.

Krog poligona

Konveksne mnogokotnike je mogoče vpisati in opisati. Krog, ki se dotika vseh strani te geometrijske figure, se vpiše vanj. Tak poligon se imenuje opisano. Središče kroga, ki je vpisano v mnogokotnik, je točka presečišča bisektorjev vseh kotov znotraj določene geometrijske slike. Področje takega poligona je enako:

S = p * r,

Če je r polmer vpisanega kroga, p pa semiperimeter danega mnogokotnika.

Krog, ki vsebuje tocke poligona, se imenuje v bližini. V tem primeru se vpiše ta konveksna geometrijska slika. Središče kroga, ki je opisano pri takem poligonu, je točka presečišča tako imenovanih srednjih navpičnic na vseh straneh.

Diagrami konveksnih geometrijskih številk

Diagoni konveksnega mnogokotnika so segmenti, ki ne povezujejo sosednjih tock. Vsak od njih leži znotraj te geometrijske figure. Število diagonal takega n-gona je določeno s formulo:

N = n (n-3) / 2.

V elementarni geometriji igra pomembno število diagonal konveksnega mnogokotnika. Število trikotnikov (K), v katere se lahko zlomi vsak konveksni mnogokotnik, se izračuna po naslednji formuli:

K = n - 2.

Število diagonal konveksnega mnogokotnika je vedno odvisno od števila njegovih tock.

Razdelitev konveksnega mnogokotnika

V nekaterih primerih je za razrešitev geometrijskih problemov potrebno razčleniti konveksni mnogokotnik v več trikotnikov s preklopnimi diagonali. Ta problem se lahko reši z določitvijo določene formule.

Opredelitev problema: nekakšno razgradnjo konveksnega n-gona v več trikotnikov imenujemo diagonali, ki se sekajo samo na tocke te geometrijske figure.

Rešitev: Recimo, da so P1, P2, P3 ..., Pn tocki tega n-gona. Številka Xn je število njegovih particij. Pazljivo razmislimo o diagonali geometrijske figure Pi Pn. V kateri koli od rednih particij P1 Pn pripada določenemu trikotniku P1 Pi Pn, za katerega je 1

Naj bo i = 2 ena skupina rednih particij, ki vedno vsebujejo diagonalno P2 Pn. Število particij, ki vstopajo v njej, sovpada s številom particij (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Z drugimi besedami, je enaka Xn-1.

Če i = 3, bo ta druga skupina particij vedno vsebovala diagonale P3 P1 in P3 Pn. V tem primeru se število rednih razdelkov, ki jih vsebuje ta skupina, sovpada s številom particij (n-2) -gon P3 P4 ... Pn. Z drugimi besedami, bo enak Xn-2.

Naj bo i = 4, potem med trikotniki redna particija nujno vsebuje trikotnik P1 P4 Pn, ki se ji pridruži štirikotnik P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn. Število rednih delcev takega štirikotnika je enako X4, število delcev (n-3) -gona pa je enako Xn-3. Na podlagi vsega navedenega lahko rečemo, da je skupno število rednih particij, ki jih vsebuje ta skupina, enako Xn-3 X4. Druge skupine, za katere i = 4, 5, 6, 7 ... vsebujejo Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... rednih razdelkov.

Naj i = n-2, potem bo število rednih particij v dani skupini sovpadlo s številom particij v skupini, za katere i = 2 (z drugimi besedami, je enaka Xn-1).

Ker je X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., potem je število vseh particij konveksnega mnogokotnika enako:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Primer:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Število rednih pregrad, ki sekajo eno diagonalo

Pri preverjanju posameznih primerov se lahko domneva, da je število diagonal konveksnih n-gonov enako produktu vseh razdelkov te številke z (n-3).

Dokaz te predpostavke: domnevamo, da je P1n = Xn * (n-3), potem lahko katerikoli n-gon razgradimo v (n-2) -triangle. Hkrati se lahko ena izmed njih kombinira (n-3) - četverokotnik. Poleg tega bo vsak kvadrilater ima diagonalo. Ker je v tej izbočeni geometrijski sliki mogoče dvoje diagonala, to pomeni, da je mogoče v nobenih (n-3) -reparatih pripraviti dodatne diagonale (n-3). Iz tega izhaja, da lahko v kateri koli redni razdelitvi izvedemo (n-3) -diagone, ki ustrezajo pogojem te težave.

Območje konveksnih mnogokotnikov

Pogosto pri reševanju različnih problemov elementarne geometrije postane potrebno določiti območje konveksnega mnogokotnika. Predpostavimo, da je (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n zaporedje koordinat vseh sosednjih tock mnogokotnika, ki nima samozapeljk. V tem primeru se njegova površina izračuna po naslednji formuli:

S = ½ (Σ (X _i + X _{i + 1} ) (Y _i + Y _{i + 1} )),

Kje (X ₁ , Y ₁ ) = (X _{n +1} , Y _{n + 1} ).